Logica matematica: cos’è e come funziona

Ti stai chiedendo cos’è la logica matematica, come funziona e come migliorare le tue capacità in questo ambito? Ottimo, sei nel posto giusto: in questa guida ti spiegheremo cosa si intende per logica matematica, quali sono le competenze logico matematiche da sviluppare e come affrontare gli esercizi di questa disciplina.

Iniziamo subito dall’etimologia: la parola logica deriva dal greco “logos”, un termine ricco di molteplici significati. Nella sua accezione più comune ed utilizzata il termine “logica” significava “linguaggio”, ma quando si parlava di matematica il termine assumeva il significato di “frazione”, oppure poteva riferirsi più in generale al “pensiero”.

La logica matematica che si studia nelle facoltà di matematica e di ingegneria è inoltre qualcosa di molto lontano e diverso dalla matematica che siamo abituati a studiare a scuola, e non ha niente a che vedere con lo studio di problemi pratici e numerici. La logica matematica studia infatti i rapporti, e tutto ciò che si può rapportare: i cosiddetti “commensurabili”. Vediamo più nel dettaglio cos’è la logica matematica.

Logica matematica: la spiegazione semplice

La logica matematica è quella branca della matematica che si occupa dei sistemi formali, ossia del modo in cui si redigono i concetti e le dimostrazioni (delle proposizioni, dei teoremi e così via), per fare in modo che questi siano chiari e precisi. In passato la logica poteva riferirsi allo studio matematico o allo studio del ragionamento matematico, a oggi questi due concetti si sovrappongono, poiché si studia il pensiero matematico in quanto pensiero preciso e ordinato.

Possiamo quindi affermare che la logica matematica è la redazione di proposizioni. Tali proposizioni possono assumere due stati di veridicità, ossia vero o falso. Nella logica matematica non sono ammessi altri stati della proposizione: questo vuol dire, in altre parole, che una proposizione è un’affermazione che esprime un valore di verità.

Facciamo un esempio pratico:

• La proposizione A afferma che “100 è un numero pari”
• La proposizione B afferma che “il cielo è nero a pallini viola”

Le due frasi sono due proposizioni di cui una vera (A) e una falsa (B).

Non possono invece essere considerati proposizioni tutte quelle frasi che esprimono un concetto soggettivo, come le affermazioni:

• “Mi piace leggere”
• “Mi piacerebbe viaggiare”

Queste frasi infatti esprimono un desiderio, o un piacere, che non può essere definito come vero o falso in modo assoluto.

I connettivi delle proposizioni

Le proposizioni possono essere collegate e combinate tra di loro utilizzando i cosiddetti connettivi, ossia termini come “e”, “o”, “non”, “se… allora”,  e così via. Questi elementi hanno il compito di legare tra loro più proposizioni: il risultato di questa combinazione è definito enunciato.

Le proposizioni semplici invece, ossia che non prevedono l’utilizzo di connettivi, sono definite atomiche.

Ad esempio,“90 è divisibile per 3” è una proposizione atomica, mentre “Se ci sarà il sole allora andrò a giocare a pallone”, è un enunciato composto da due proposizioni (“Ci sarà il sole” e “andrò a giocare a pallone”) collegate dal connettivo “Se…allora”.

Il linguaggio formale della logica matematica

Durante la sua evoluzione, l’uomo ha sviluppato un modo di parlare molto complesso e pieno di ambiguità, in quanto molti concetti possono essere interpretati in modo soggettivo. Per evitare che questo accada i matematici hanno creato un linguaggio semplice, chiaro e privo di ambiguità, che ha preso il nome di linguaggio formale.

A tale scopo è stato sviluppato un vero e proprio alfabeto, ossia un insieme di simboli da utilizzare per costruire delle frasi, che non è altro che una sequenza di simboli che appartiene al nostro alfabeto. A partire dalle frasi è stata poi definita una sintassi, ossia una serie di regole che stabiliscono l’ordine che devono assumere i simboli per poter essere accettati. La sintassi si occupa solo dell’ordine dei simboli e non della veridicità di ciò che esprimono.

Facciamo un altro esempio pratico:

• 5x(2+8)=50: è una formula sintatticamente corretta
• 5x(=50)2+8: è una formula sintatticamente non corretta
• 5x(2+8)=100: è una formula sintatticamente corretta, e non è importante se il contenuto sia o meno vero.

Possiamo quindi affermare che la sintassi ha il compito di stabilire delle regole che permettono di formulare delle Frasi Ben Fatte: la discussione del contenuto avverrà solo in un secondo momento, quando si avranno di fronte frasi sintatticamente corrette.

I simboli utilizzati generalmente per la creazione delle cosiddette Frasi Ben Fatte, concetto che approfondiremo a breve, sono i seguenti:

• ¬ : indica il “non” cioè nega la proposizione. A volte viene anche indicato con una barra orizzontale sopra la lettera indicante la proposizione.
• ˄ : designa l’ “e” come congiunzione.
• ˅ : indica l’ “o” come disgiunzione.
• → : è utilizzata per indicare l’implicazione.
• Simboli per indicare le proposizioni: A, B, C, …
• Simboli accessori come le parentesi: ( e )

I simboli ¬, ˄, ˅, → hanno degli ordini di priorità che permette di evitare l’uso eccessivo di parentesi, che altrimenti darebbero luogo ad interpretazioni secondo la priorità che ognuno darebbe nel leggere le proposizioni ed i simboli. La priorità più alta ce l’ha il simbolo ¬, poi ˄, poi ˅, infine → .

Le Frasi Ben Fatte

A questo punto è lecito domandarsi: una volta stabiliti simboli, sintassi e priorità, a cosa serve saper formulare queste proposizioni?

È una domanda a cui abbiamo già risposto in parte, affermando che la logica di per sé serve a redigere teoremi e dimostrazioni in maniera chiara e senza alcuna ambiguità. Ma per poter formulare questo tipo di proposizione è innanzitutto necessario il calcolo proposizionale, ossia essere in grado di manipolare le proposizioni e i connettori in modo da stabilirne la veridicità finale.

Come abbiamo già detto infatti alle proposizioni, e in particolare alle Frasi Ben Fatte, possiamo attribuire un valore di veridicità. In logica i valori possibili sono solamente due, ossia Vero (indicato con la lettera V) e Falso (indicato con la lettere F). Una volta stabilito ciò, si può procedere con la redazione delle cosiddetta Tavole della Verità. Le Tavole sono molto utili, perché semplici da redigere e al contempo davvero efficaci. Ecco un esempio di Tavola della Verità:

In questa Tavola della Verità abbiamo il risultato dell’operatore di implicazione. Ovvero A implica B. Nel caso in cui A sia vera e B sia vera, allora A implica B è vera e così via. Per ogni operatore è possibile restituire una tabella simile.

I paradossi della logica matematica

Abbiamo fin qui parlato del modo di redigere un concetto e della sintassi che è necessario utilizzare affinché sia possibile redigere effettivamente una frase. Molto spesso però, in filosofia così come in matematica, ci si trova di fronte ai cosiddetti Paradossi. Si tratta di un concetto molto importante, perché è proprio dai paradossi che è nato il germe che ha dato vita allo studio della logica matematica.

Il termine paradosso deriva dal greco, e vuol dire “andare contro l’opinione comune”: redigere un paradosso, in altre parole, significa redigere un ragionamento che va contro la logica comune.

Uno degli esempi più comuni di paradosso è quello del mentitore. Ipotizziamo di trovarci davanti ad un giudice e di dare la nostra testimonianza in merito ad un fatto accaduto. Il giudice però non è sicuro che stiamo dicendo la verità, perciò ci pone la domanda: “Stai dicendo la verità?”. A tale domanda rispondiamo “No, io sto mentendo”. Si tratta tuttavia di una risposta che non ha molto significato, perché:

• se supponiamo che io stia davvero mentendo, significa che io sto dicendo il falso. Quindi l’ipotesi che l’affermazione “io sto mentendo” sia vera, è contraddittoria, porta quindi alla sua contraddizione.
• Supponiamo quindi che la frase “Io sto mentendo” sia falsa. Allora è vero il suo contrario, quindi sto dicendo il vero.

In entrambi i casi si arriva ad una contraddizione. Ed è proprio per risolvere queste contraddizioni che è nata la logica matematica.

Credits: tadamichi/GettyImage

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