Sei curioso di scoprire che cos’è e a cosa serve il piano cartesiano?
In questa guida ti spiegheremo cosa intendiamo per assi cartesiani, da dove nascono e in che modo trovano applicazione nell’algebra.
Possiamo definire il sistema di riferimento cartesiano come
Un sistema composto da n rette ortogonali, intersecantesi tutte in un punto chiamato origine, su ciascuna delle quali si fissa un orientamento (sono quindi rette orientate) e per le quali si fissa anche un’unità di misura (cioè si fissa una metrica di solito euclidea) che consente di identificare qualsiasi punto dell’insieme mediante n numeri reali.
Ma che significa tutto questo e quali sono le caratteristiche di questo strumento? Continua nella lettura per scoprirlo.
Quello che devi sapere sugli assi cartesiani
Nel mondo dell’algebra è fondamentale definire le regole e il funzionamento del piano cartesiano. Vediamo ora una serie di informazioni utili che dovresti conoscere per approcciarti a questo strumento.
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Diagramma cartesiano: una definizione
Come abbiamo detto, per piano cartesiano intendiamo quel sistema costituito da due rette perpendicolari, che si incontrano in un punto O definito Origine.
Iniziamo con l’esaminare alcuni aspetti fondamentali di questo strumento:
- Si fissa sulla retta orizzontale il verso positivo che per convenzione è quello da sinistra a destra
- Il verso positivo sulla retta verticale è dal basso verso l’alto
- Si impone la stessa unità di misura su entrambe le rette a partire dall’origine O
- La retta orizzontale prende il nome di asse delle x o delle ascisse, e la retta verticale prende il nome di asse delle y o delle ordinate
- I due assi individuano quattro angoli che prendono il nome di quadranti del piano cartesiano:
I quadrante: comprende i punti aventi ascissa ed ordinata positive;
II quadrante: comprende i punti aventi ascissa negativa ed ordinata positiva;
III quadrante: comprende punti aventi ascissa ed ordinata negative;
IV quadrante: comprende punti aventi ascissa positiva ed ordinata negativa.
- Ogni punto del piano cartesiano individua una coppia di numeri sugli assi cartesiani individuata tracciando le distanze (i segmenti di perpendicolare) del punto degli assi.
- Ogni coppia ordinata di numeri individua un punto nel piano cartesiano e quindi si dice che esiste una corrispondenza biunivoca tra punti del piano e coppie ordinate di numeri. Tale coppia viene detta coppia di coordinate del punto dato: il primo numero viene detto ascissa e il secondo viene detto ordinata.
Rette e valori
L’ascissa e l’ordinata del punto medio M di un segmento [AB] nel piano cartesiano equivalgono, rispettivamente, alla semisomma delle ascisse e alla semisomma delle ordinate degli estremi A e B del segmento dato.
La misura della distanza di due punti paralleli all’asse delle x corrispondono al valore assoluto della differenza fra l’asse delle x considerate.
La misura della distanza di due punti paralleli all’asse delle y è uguale al valore assoluto della differenza fra l’asse delle y considerate.
La distanza di due punti è data dalla radice quadrata della somma dei quadrati delle differenze fra le ascisse.
Parlando, invece, delle equazioni:
- L’equazione dell’asse delle ascisse è Y=0
- L’equazione dell’asse delle ordinate è X=A
- L’equazione di una retta perpendicolare all’asse delle ascisse è Y=K
- L’equazione di una retta perpendicolare con le asse delle ordinate è X=K.
Un’equazione del tipo Y=MX (con M un numero qualsiasi) ha per diagramma cartesiano una retta passante per l’origine degli assi.
Il coefficiente M o coefficiente angolare della retta indica l’inclinazione della retta cioè l’angolo che la retta con il semiasse positivo delle ascisse. Se M è positivo la retta passa per il primo e per il terzo quadrante. Se M è negativo la retta passa per il secondo e per il quarto quadrante.
L’equazione Y=X è l’equazione della bisettrice del primo e del terzo quadrante. L’equazione Y=-X è l’equazione della bisettrice del secondo e quarto quadrante. Due rette si definiscono parallele quando hanno i coefficienti angolari uguali. Due rette si definiscono perpendicolari quando i coefficienti angolari sono discordi e con il valore assoluto uno inverso dell’altro.
Origini
Nicola d’Oresme, matematico del XIV secolo operante a Parigi, fu il primo ad introdurre il concetto di coordinate geometriche.
Il nome cartesiano è riferito al matematico e filosofo francese René Descartes (in italiano Cartesio) il quale, tra le altre cose, riprendendo gli studi di Nicola d’Oresme, lavorò sulla fusione dell’algebra con la geometria euclidea. Questi studi furono influenti nello sviluppo della geometria analitica, del calcolo infinitesimale e della cartografia.
Il piano cartesiano nacque proprio nel 1637 in due scritti da Cartesio e, indipendentemente, da Pierre de Fermat, anche se Fermat non pubblicò la sua scoperta.
Sul piano cartesiano abbiamo detto tutto, per oggi: siamo certi che, grazie alle nostre indicazioni, riuscirai a capire meglio questo strumento e le sue applicazioni nel campo dell’algebra.